【概率論公式總結大全】概率論是研究隨機現象及其規律的數學分支，廣泛應用于統計學、金融、計算機科學、物理學等領域。為了方便學習和復習，本文對概率論中的核心公式進行系統性總結，并以文字加表格的形式呈現，幫助讀者快速掌握關鍵知識點。

一、基本概念與定義

1. 樣本空間（Sample Space）

所有可能結果的集合，記為 $ S $。

2. 事件（Event）

樣本空間的一個子集，表示某些特定結果的集合。

3. 概率（Probability）

表示事件發生的可能性大小，記為 $ P(A) $，滿足：

- $ 0 \leq P(A) \leq 1 $

- $ P(S) = 1 $

- 若 $ A_1, A_2, \dots $ 互斥，則 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) $

4. 條件概率（Conditional Probability）

在事件 $ B $ 發生的條件下，事件 $ A $ 發生的概率，記為 $ P(AB) $，定義為：

$$

P(AB) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{當 } P(B) > 0

$$

5. 獨立事件（Independent Events）

兩個事件 $ A $ 和 $ B $ 獨立，當且僅當：

$$

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

$$

6. 全概率公式（Law of Total Probability）

若 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一個完備事件組（即 $ \bigcup_{i=1}^{n} B_i = S $ 且兩兩互斥），則對于任意事件 $ A $，有：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(AB_i) \cdot P(B_i)

$$

7. 貝葉斯公式（Bayes' Theorem）

在已知事件 $ A $ 發生的情況下，求事件 $ B_i $ 發生的概率：

$$

P(B_iA) = \frac{P(AB_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(AB_j) \cdot P(B_j)}

$$

二、隨機變量與分布

1. 隨機變量（Random Variable）

- 離散型隨機變量：取值為有限或可數無限個的變量。

- 連續型隨機變量：取值為連續區間內的變量。

2. 分布函數（CDF）

對于隨機變量 $ X $，其分布函數 $ F(x) $ 定義為：

$$

F(x) = P(X \leq x)

$$

3. 概率質量函數（PMF）與概率密度函數（PDF）

- 離散型隨機變量：概率質量函數 $ p(x) = P(X = x) $

- 連續型隨機變量：概率密度函數 $ f(x) $，滿足：

$$

P(a < X < b) = \int_a^b f(x) dx

$$

4. 數學期望（Expectation）

- 離散型：$ E[X] = \sum_{x} x \cdot p(x) $

- 連續型：$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $

5. 方差（Variance）

- $ \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 $

6. 協方差與相關系數

- 協方差：$ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] $

- 相關系數：$ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} $

三、常見概率分布

四、大數定律與中心極限定理

1. 大數定律（Law of Large Numbers）

當獨立重復試驗次數趨于無窮時，樣本均值趨于總體期望。

2. 中心極限定理（Central Limit Theorem）

設 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是獨立同分布的隨機變量，均值為 $ \mu $，方差為 $ \sigma^2 $，則當 $ n $ 足夠大時，樣本均值近似服從正態分布：

$$

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

$$

五、總結

概率論是一門邏輯嚴密、應用廣泛的數學學科，掌握其核心公式和概念是進一步學習統計推斷、機器學習等領域的基礎。本文通過文字與表格相結合的方式，系統地整理了概率論中的主要公式和重要分布，希望對學習者有所幫助。

如需進一步了解具體分布的性質或應用場景，可結合實際問題進行深入分析。

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