【行列式的定義】行列式是線性代數中的一個重要概念，用于描述一個方陣的某些性質，尤其在解線性方程組、矩陣的逆、特征值計算等方面有廣泛應用。它是一個與矩陣相關的標量值，能夠反映矩陣的一些幾何和代數特性。

一、行列式的定義

對于一個 $ n \times n $ 的方陣 $ A = (a_{ij}) $，其行列式（記作 $ \det(A) $ 或 $ A $）是一個由該矩陣元素按照一定規則計算得到的數值。行列式的計算方式取決于矩陣的階數。

1. 一階行列式

若矩陣為 $ 1 \times 1 $，即只包含一個元素 $ a $，則其行列式就是該元素本身：

$$

\det(a) = a

$$

2. 二階行列式

對于 $ 2 \times 2 $ 矩陣：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b \\

c & d

\end{bmatrix}

$$

其行列式為：

$$

\det(A) = ad - bc

$$

3. 三階行列式

對于 $ 3 \times 3 $ 矩陣：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}

$$

其行列式可以通過展開法或對角線法則計算，常見方法如下：

- 展開法（按行或列展開）：

$$

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

- 對角線法則（僅適用于三階）：

$$

\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

$$

4. 高階行列式

對于 $ n \times n $ 矩陣，行列式通常通過余子式展開（Laplace展開）進行計算，即將矩陣按某一行或列展開為多個低階行列式的組合。

二、行列式的性質總結

三、行列式的應用

- 解線性方程組：克萊姆法則利用行列式求解線性方程組。

- 判斷矩陣是否可逆：當且僅當 $ \det(A) \neq 0 $ 時，矩陣 $ A $ 可逆。

- 計算特征值：特征多項式為 $ \det(A - \lambda I) $，其根為特征值。

- 幾何意義：行列式的絕對值表示由矩陣列向量所張成的平行多面體的體積。

四、小結

行列式是一個從方陣到實數的映射，具有豐富的代數性質和幾何意義。它是研究矩陣結構、求解線性系統、分析變換性質的重要工具。掌握行列式的定義和基本性質，是進一步學習線性代數的基礎。

表格總結：行列式的基本定義與性質

如需進一步了解行列式的計算方法或具體例題，請繼續提問。

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